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一份试题

分析

  1. 求$f(x)=\left| sin(x) \right|$的Fourier级数,并求$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2-1}$.

  2. 已知数列${a_{n}}$定义如下,
    $a_{0}$为满足$a_{0} \leq x$的最大整数,$a_{1}$为满足$a_{0}+\frac{a_{1}}{p} \leq x$的最大整数,
    $a_{n}$为满足$a_{0}+\frac{a_{1}}{p}+ \cdots + \frac{a_{n}}{p^{n}} \leq x$的最大整数.其中$x>0,p\in \mathbb{N}, p \geq 2$
    证明:

    1. $0 \leq a_{n} \leq p-1$

    2. 设$r_{n} = a_{0}+\frac{a_{1}}{p}+ \cdots + \frac{a_{n}}{p^{n}}$,证明$\sup r_{n} = x$

  3. 已知$f(x)$在$(a,b)$上二阶可导,在$[a,b]$上连续,且其图像与连接$(a,f(a))$与$(b,(f(b))$两点的直线交于第三点.
    证明:存在$c \in (a,b), f’’(c)=0$

  4. 已知$F(y) = \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{sin(xy)}{x(1+x^2)} dx$.

    1. 证明$F(y)$二阶可导

    2. 求$F(y)$的解析表达式

  5. $f(x,y)$有二阶连续偏导数,$E$为单位圆.求证
    $$\lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\pi r^2} \iint_E f(x,y)d\sigma - f(0,0)}{r^{2}} = \frac{1}{4}(f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0))$$

  6. $f(x)$有连续的导函数.证明:

    1. $E$为零测集,则$f(E)$也为零测集

    2. $E$为可测集,则$f(E)$也为可测集

代数

  1. 定义换位子$[X,Y] = XY - YX$,求证:

    1. $A,B \in M_{n}(\mathbb{R}), tr([A,B]) = O$

    2. $X,Y,Z \in M_{2}(\mathbb{R}), [[X,Y]^2,Z] = O$

  2. 求证:$A \in M_{n}(\mathbb{C})$,存在$N \in \mathbb{N}$使得$A^{N} = E$的充要条件是$A$可对角化,且所有特征值均为单位根.

  3. 已知$A,B$是实对称矩阵.且$AB = BA$. 求证:

    1. $AB$也是实对称矩阵

    2. 若$A$正定,$B$负定且$A$为对角形矩阵,证明$AB$是负定的

    3. 若$A$正定,$B$负定,证明$AB$是负定的